Derivation of Kirschmer's head loss formula and inclined pipe head loss formula

Kirschmer의 손실수두 공식의 도출 과정과 경사 파이프에서의 손실수두 공식

Kirschmer의 손실수두 공식은 유체가 파이프를 흐를 때 발생하는 마찰 손실을 계산하는데 사용되는 식이다.

1. Kirschmer 손실수두 공식의 도출 과정

Kirschmer의 손실수두 공식은 Darcy-Weisbach 방정식을 기반으로 도출되었다. Darcy-Weisbach 방정식은 파이프에서 발생하는 마찰로 인한 압력 손실을 계산하는 기본적인 공식이다.

\Delta P = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{\rho v^2}{2}

여기서:

$\Delta P$ : 압력 손실
$f$ : 마찰 계수
$L$ : 파이프의 길이
$D$ : 파이프의 직경
$\rho$ : 유체의 밀도
$v$ : 유속

이제 압력 손실을 수두 손실로 변환하려면, 다음과 같은 변환 공식을 사용하면 된다.

\Delta h = \frac{\Delta P}{\rho g}

여기서 $g$ 는 중력 가속도이다. 이 변환을 적용하면 압력 손실이 수두 손실로 바뀌게 되며, 그 결과 Kirschmer의 손실수두 공식을 도출할 수 있다.

h_l = \frac{f L v^2}{2 g D}

이 공식은 수평 파이프에서 유체의 흐름에 의한 마찰 손실을 계산하는 기본적인 형태이다.

2. 경사 파이프에서의 손실수두 공식

Kirschmer의 손실수두 공식은 경사 파이프에서 유체의 흐름을 고려할 때, 경사각 $\alpha$ 를 추가하여 마찰 손실을 보정해야 한다. 경사 파이프에서는 중력과 유체의 흐름이 서로 결합되어 경사각에 따라 손실수두가 달라지기 때문이다.

h_l = C \sin \alpha \left( \frac{t}{b} \right)^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{V^2}{2g}

여기서:

$h_l$ : 손실수두 (m)
$C$ : 경험적 계수 (실험적 데이터를 통해 결정)
$\alpha$ : 파이프의 경사각 (rad)
$t$ : 파이프의 두께 (m)
$b$ : 파이프의 반지름 (m)
$V$ : 유속 (m/s)
$g$ : 중력 가속도 (9.81 m/s²)

공식의 보완 설명

위 공식은 경사 파이프에서의 마찰 손실을 구하는 데 사용되며, 실험적 데이터를 바탕으로 도출되었다. 여러 실험에서 파이프의 기울기, 유속, 두께, 반지름 등을 변화시키며 손실수두를 측정하고, 그 관계를 모델링한 결과인 셈이다.

경험적 계수 $C$ : $C$ 는 파이프 재질, 유체의 성질, 그리고 흐름 특성에 따라 실험적으로 결정되는 값이다. 이는 파이프가 마찰과 충돌로 인한 손실을 겪는 정도를 나타내며, 특정 조건에 맞는 데이터를 통해 실험적으로 얻어진다.
기본식과 경사식의 연결: 위의 수평 파이프에서의 기본식과 마찬가지로, 경사 파이프에서도 Darcy-Weisbach 방정식이 기초로 사용된다. 하지만 경사 파이프에서는 중력에 의한 추가 손실이 존재하므로 앞서 말한 바와 같이 경사각 $\alpha$ 가 추가되어, 중력과 유체 흐름 방향의 결합이 반영된다. 즉, 경사각 $\alpha$ 가 커질수록 유체의 흐름 방향과 중력 방향이 더 일치하게 되어 손실수두가 증가하므로, 이를 반영하기 위해 $\sin \alpha$ 를 공식에 포함하는 것이다.
두께와 반지름의 비율 $\left(\frac{t}{b}\right)^{\frac{4}{3}}$ : 파이프의 두께와 반지름의 비율은 마찰에 직접적인 영향을 미치는 요소이다. 두께가 두꺼울수록, 반지름이 작을수록 마찰이 커지며 유체가 흐르기 어려워지기 때문에 이 비율을 사용하여 손실수두를 보정한다. 특히 이 비율은 특수한 조건에서 마찰 손실에 더 민감하게 작용할 수 있다.
유속 $V$ : 유속이 커질수록 마찰 손실이 급격히 증가하며, 이는 유속의 제곱에 비례한다. 따라서 $\frac{V^2}{2g}$ 형태로 나타나며, 파이프에서의 에너지 손실을 보다 정확히 계산할 수 있다.